,1],(1)设|f(x)|

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 05:17:30
已知二次函数f(x)=x^2+ax+b(a,b∈R)的定义域为[-1,1],(1)设|f(x)|的最大值为M,求证M≥1/2。
（2）在（1）中，当M=1/2时，求f(x)的表达式。

(1)
f(x)=x^2+ax+b
M>=|f(0)|=|b|
M>=|f(1)|=|1+a+b|
M>=|f(-1)|=|1-a+b|
4M>=2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|>=|(-2b)+(1+a+b)+(1-a+b)|=2
M>=1/2
[-b,1+a+b,1-a+b同号时取等]

(2)
I.若-b,1+a+b,1-a+b均>=0,M=1/2,则:
1+a+b<=1/2..............①
1-a+b<=1/2..............②
-b<=1/2.................③

①+②:2+2b<=1,b<=-1/2
③:b>=-1/2
∴b=-1/2
代回①:a<=0,②:a>=0
∴a=0

f(x)=x^2-1/2

II.若-b,1+a+b,1-a+b均<0,M=1/2,则:
0>1+a+b>=-1/2..............①
0>1-a+b>=-1/2..............②
0>-b>=-1/2.................③

①+③:0>1+a>=-1,-2<=a<-1
②+③:0>1-a>=-1,1<a<=2
无解

综上:f(x)=x^2-1/2